Với \(m=0\) ko thỏa mãn

Với \(m\ne0\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x+1}{\sqrt{mx^2+1}}=-\dfrac{1}{\sqrt{m}}\); \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x+1}{\sqrt{mx^2+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{m}}\)

\(\Rightarrow\) Hàm có 2 TCN khi \(\sqrt{m}\) xác định \(\Rightarrow m>0\)

ĐKXĐ: \(x\le1\)

Hàm có tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình:

\(x-m=0\) có nghiệm \(x< 1\)

\(\Leftrightarrow m< 1\)

Hàm có tiệm cận đứng khi và chỉ khi \(x^2-mx-2m^2=0\) vô nghiệm hoặc không có nghiệm \(x=2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\Delta=m^2+8m^2< 0\\4-2m-2m^2\ne0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m\ne-2\end{matrix}\right.\)

Do mẫu có bậc 2 còn tử bậc 1 \(\Rightarrow\)hàm không có tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình \(x^2-2mx+1=0\) vô nghiệm

\(\Leftrightarrow\Delta'=m^2-1< 0\)

\(\Rightarrow-1< m< 1\)

Điều kiện:mx²+1>0.                                    

- Nếu m=0 thì hàm số trở thành y=x+1  không có tiệm cận ngang.

- Nếu m<0 thì hàm số xác định  ⇔ - 1 - m < x < 1 - m

Do đó,   lim x → ± ∞ y  không tồn tại nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

- Nếu m>0 hì hàm số xác định với mọi x.

Suy ra đường thẳng y =   1 m là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi x → + ∞  .

Suy ra đường thẳng  y =   -   1 m là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy m>0 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn B.

Đáp án D

Để hàm số không có tiệm cận đứng thì PT 2 x 2 - 3 x + m = 0  có nghiệm là  m ⇒ 2 m 2 - 3 m + m = 0 ⇔ 2 m ( m - 1 ) = 0 ⇒ m = 0 m = 1

Đáp án là D.

Đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận khi phương trình   m 2 x 2 + m − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác  -1 ⇔ m 2 ≠ 0 − m 2 m − 1 > 0 ⇔ m ≠ 0 m < 1 .

Đáp án A.

Ta có  2 x + 3 m x 2 + 1 = 2 x + 3 x 1 m + 1 x 2 ⇒ lim x → − ∞ 2 x + 3 x = lim x → − ∞ 2 x + 3 − x = − 2  và

lim x → + ∞ 2 x + 3 x = lim x → + ∞ 2 x + 3 x = 2 . Từ đó, suy ra các giới hạn  lim x → − ∞ 2 x + 3 m x 2 + 1 ; lim x → + ∞ 2 x + 3 m x 2 + 1  tồn tại và hữu hạn khi và chỉ khi các giới hạn  lim x → − ∞ m + 1 x 2 ;   lim x → + ∞ m + 1 x 2  tồn tại, hữu hạn và khác không. Do  lim x → ± ∞ 1 x 2 = 0  các giới hạn vừa nêu tồn tại, hữu hạn và khác 0 khi và chỉ khi m > 0.

Chú ý và Lỗi sai

* Định nghĩa: Cho hàm số  y = f x  xác định trên  a ; + ∞ ;   − ∞ ; b ;   − ∞ ; + ∞

Nếu  lim x → + ∞ f x = y 0 lim x → − ∞ f x = y 0  thì  y = y 0  là tiệm cận ngang.

Từ định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số suy ra các giá trị m cần tìm là các giá trị sao cho tồn tại giới hạn của hàm số đã cho khi x tiến ra  + ∞  và khi x tiến ra  - ∞ , đồng thời hai giới hạn đó phải khác nhau.

Đáp án D

Ta có  y = 2 x - m - 1 x 2 + 1 x - 1 = 2 x - x m - 1 + 1 x 2 x - 1 = 2 = x x . m - 1 + 1 x 2 1 - 1 x  

Đồ thị hàm số đã cho có hai đường TCN  ⇔ m - 1 + 1 x 2 > 0 ; ∀ x ∈ ℝ ⇔ 1 - m < 0 ⇔ m > 1 .